II-1-01) 복소수 (복소수의 연산)

II. 방정식과 부등식
 1. 복소수와 이차방정식
  01) 복소수

   - 복소수

   - 복소수의 연산

   - \(i\)의 거듭제곱, 음수의 제곱근

  02) 이차방정식의 근과 판별식

  03) 이차방정식의 근과 계수의 관계

 

 

오늘은 복소수의 다양한 연산, 그리고 성질들에 대해 배워볼 겁니다!

실수랑 거의 비슷하고, 특이한 성질들이 몇 개 있으니깐 잘 보도록 해요!

 

 

※ 복소수의 덧셈, 뺄셈은 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 한다.

   복소수의 곱셈은 \( i^2 = -1 \)임을 이용한다.

   복소수의 나눗셈은 켤레복소수를 분모, 분자에 모두 곱해준다.

 

 \(a, \ b, \ c, \ d \)가 모두 실수일 때,

• 덧셈 / 뺄셈 : \( (a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i \)
• 곱셈 : \( (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad + bc)i \)
• 나눗셈 : \( \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ (a+bi)(c-di) } { (c+di)(c-di) } = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc-ad}{c^2 + d^2}i \)

※ 실수와 마찬가지로, 덧셈, 곱셈의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

 \(z_1, \ z_2, \ z_3 \)가 모두 복소수일 때,

• 교환법칙 : \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1 , \quad z_1 z_2 = z_2 z_1 \)
• 결합법칙 : \( (z_1 + z_2 ) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3 ) = z_1 + z_2 + z_3 , \quad (z_1 z_2 ) z_3 = z_1 ( z_2 z_3 ) = z_1 z_2 z_3 \)
• 분배법칙 : \( z_1 (z_2 + z_3 ) = z_1 z_2 + z_1 z_3 , \quad (z_1 + z_2 ) z_3 = z_1 z_3 + z_2 z_3 \)

켤레복소수의 성질 :

 복소수 \(z_1, \ z_2 \)와 그 켤레복소수 \( \overline{z_1} , \ \overline{z_2} \)에 대하여,

• \( \overline{ \left( \overline{ z_1 } \right) } = z_1 \)
• \( z_1 + \overline{ z_1 } =\) 실수 , \(z_1 \overline{z_1 } = \) 실수
• \( \overline{z_1 } = z_1 \quad \Leftrightarrow \quad z_1 \)은 실수
  \( \overline { z_1 } = - z_1 \quad \Leftrightarrow \quad z_1 \)은 순허수 또는 \(0\)
• \( \overline{ z_1 \pm z_2 } = \overline{z_1 } \pm \overline { z_2} \)
• \( \overline{ z_1 z_2 } = \overline{ z_1 } \times \overline { z_2 } \)
  \( \overline{ \left( \frac{z_1}{z_2} \right) } = \frac{ \overline{z_1 } }{ \overline{z_2 } } \) (단, \( z_2 \ne 0 \))

 

 

지난 시간에 배운 복소수들을 계산할 때 어떻게 하는지,

그리고 여러 가지 성질에 대해서 봤어요!

 

그럼 다음 시간에 봐요~ 바바이~